El pequeño principito.

(Antoine de Saint-Exupéry, aviador y escritor)

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Para aquellos que siguen manteniendo su prístina inocencia, su corazón puro y son capaces de maravillarse e ilusionarse  sean estos regalitos de Semana Santa.

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“El principito” de Antoine de Saint-Exupéry.

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La calidad musical de un individuo no va necesariamente aparejada con su calidad humana. Mil y un ejemplos nos vienen a la cabeza. Pero en Viajes con mi tía, y en Trantor, somos campeones de la tolerancia y adalides de la indulgencia, de modo que no podemos dejar de ver la luz entre tanta oscuridad y tanto reverso tenebroso. Lean y escuchen lo que nos cuenta Enrique Bunbury.

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“De mayor” de Enrique Bunbury.

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Cuando era pequeño me enseñaron
a perder la inocencia gota a gota,
¡qué idiotas!
Cuando fui creciendo aprendí
a llevar como escudo la mentira,
¡qué tontería!

De pequeño me enseñaron a querer ser mayor,

de mayor quiero aprender a ser pequeño

y así cuando cometa otra vez el mismo error

quizás no me lo tengas tan en cuenta.

Me atrapó el laberinto del engaño,
con alas de cera me escapé
para no volver.
Cerca de las nubes como en sueños
descubrí que a todos nos sucede
lo que sucede

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Ya es primavera…

(“La Primavera” de Sandro Botticelli, 1481-82. Tampoco era manco).

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Ustedes comprobarán que el Sol lleva cuatro días seguidos iluminando nuestro rostro tras la pertinaz lluvia -¿dónde está el cambio climático de Al Gore?- así que debe ser primavera.

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(“Primavera” de Giuseppe Arcimboldo, 1573. Aquí otra vez las imágenes dobles…).

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Aprovechando el paso del equinoccio rendiremos homenaje al “mostro” Renato Carosone por una simple y burda asociación de ideas: ya es primavera en… la música ratonera,  en Trantor nos encanta la canción ligera de época de nuestros padres (cuando se hacía música y no el ruido de ahora), y también nos gusta el retorno del Astro Rey.

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De modo que por estas razones, y sin más, vamos a piratear la idea del spot de los grandes almacenes (dedicado a Ramoncín).

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Deléitense con:

“Tu vuo’ fa l’americano”, de las películas  “Toto ‘, Peppino e Le Puorte” y “El talento de Mr. Ripley”.

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“Torero”, para los que quieren prohibir los toros… toma dos tazas.

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“Piccolissima serenata”, presagio de noches de verano…

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Y por fin la música del anuncio de TV  ”Il pericolo” nº 1, la donna…¡qué cosas!

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De dónde venimos, a dónde vamos (II).

(Imagen que tomamos de los chicos de Asusta2).

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Vamos a proponerles hoy una posible situación del Universo mucho más halagüeña, ¿o tal vez no?, que la que dejamos en el ambiente en la primera parte de esta entrada. Es la idea de losuniversos múltiples, en este caso la idea de infinitos universos paralelos (hay quien postula que la materia oscura de la que hablábamos en el anterior post no es más que materia de un universo paralelo, que interactúa gravitatoriamente con la materia de nuestro universo, pero imposible de detectar).

Cuando se trata de estudiar el origen del Universo, los físicos trabajan con ecuaciones que ofrecen diversas soluciones. Si alguno de ustedes ha realizado problemas de caída de objetos recordará que, a veces, resultan soluciones de tiempo negativo, que aunque matemáticamente posibles son físicamente inviables.  En el caso de las distintas soluciones a posibles universos, a partir de las ecuaciones de Einstein, el contraste con la realidad no es tan intuitivo e inmediato en absoluto, aunque cabe la posibilidad de existencia de infinitos universos simultáneos a este nuestro.

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(Estas son las ecuaciones de Einstein. No se asusten, no las tienen que resolver).

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Téngase en cuenta que el Universo no es infinito. El espacio es finito y curvo (un rayo de luz que viajase sin descanso acabaría volviendo al punto de partida, igual que alguien que diera la vuelta al mundo), se crea continuamente, de modo que desde el Big Bang el Universo es cada vez mayor, como un globo que se hincha, y no podemos salir de él, puesto que solo podemos movernos por el espacio. Fuera de un universo no existe el espacio, ni el tiempo, propiedades internas de los universos. Sin embargo, nada de esto impide que haya más de un universo.

¿Y qué? Pues que esto tiene implicaciones más profundas de lo que parece. Las partículas de un universo son finitas, no infinitas, por tanto las posibilidades de combinación e interacción entre ellas son finitas, un número altísimo, inimaginable, pero finito. Es decir, el número de posibles seres, animados o no, así como de sus posibles acciones son finitos. ¿Lo ven ya?

Si todavía no es así usemos una analogía: ¿qué pasaría en una ciudad con infinitos televisores (universos) pero con un número finito de películas (seres y acciones)? ¡Ajá! En algunos televisores se repite la película, en infinitos más bien.

De modo que si esto es así, en infinitos universos paralelos al nuestro, usted, con análogo bagaje vital, está leyendo ahora mismo esta misma entrada, escrita por mí en el mismo momento en el que lo estoy haciendo. O, puestos a pedir, está haciendo lo que más le apetece, en el lugar que más le agrada, con la compañía deseada. ¿Interesante, no?

Lo malo es que este usted de aquí no se va a poder cambiar nunca con aquel de allí, al menos por ahora. Pero no pierda la esperanza, y menos la ilusión, y pida a estos Reyes Magos lo que más le guste, ¿y si son de verdad?

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La adoración de los magos, detalle. Vitral, Alemania, ca. 1400.

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Vean este pequeño tutubo sobre los universos paralelos.

Dos caras del infinito.

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Hace algún tiempo nos preguntaba un amigo que por qué menos por menos es más (1). Reconocemos nuestra ignorancia al respecto y queremos, en compensación, dedicarle esta entrada sobre el infinito. Va por el Pobrecito Hablador.

¿Cuál es el número más grande de todos? Dado un número cualquiera, siempre le podemos sumar uno, de modo que obtenemos otro mayor. Por tanto, el número más grande de todos es inalcanzable. Esto nos lleva al concepto de infinito (2), el infinito es un límite, un viaje que nunca termina, un destino inalcanzable. Nos tememos que nuestra tía jamás llegará a encontrarse con él.

Sin embargo la matemática no es cosa que necesite de la existencia real de un concepto para operar con él, se basta y sobra con trabajar en el platónico mundo de las ideas puras, aún cuando éstas sean contrarias al sentido común (engañoso y menos frecuente de los sentidos), más allá del abismo de las ideas.

De este modo, esos ministros de lo abstracto que son los matemáticos utilizan el infinito (∞), con las siguientes propiedades curiosas e implicaciones casi absurdas:

• ∞+1=∞. Sumarle uno al infinito lo deja como está; algo que ya es infinito no puede aumentar más. El hotel de Hilbert es un hotel con infinitas habitaciones. Estando completamente ocupado llega un huésped nuevo. Cada alojado pasa a la habitación siguiente. La habitación número 1 queda libre para el inquilino que llegó. Para cualquier otro número a+1=a implicaría que 1=0, lo cual es absurdo. No es que sea una explicación, pero sirve para aproximarnos el siguiente hecho: el número 4’99999…9999… (con infinitos 9) es igual que 5, de hecho es 5, porque al tener infinitos decimales detrás de la coma acaba llegando al siguiente punto de los números reales, que es el 5.
• Algo parecido ocurre con la resta, ∞-1=∞. Si algo es infinito, por mucho que le quite uno, seguirá siendo infinito. El infinito es como un cántaro milagroso, del que si sacamos un objeto no queda uno menos sino el mismo número; una cornucopia, el cuerno de la abundancia.

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• La multiplicación ∞^.∞=∞ es aún más obvia.

El problema lo plantean las siguientes operaciones:

• ∞­-∞=? Restar una fuerza incontenible contra una muralla inexpugnable.
• ∞/∞=? Repartir infinitas cosas entre infinita gente. ¿Cómo arreglan esto los matemáticos? Viendo qué infinito es el que crece más rápido, es decir, viendo la tendencia. Por ejemplo, si resto 2x-x², la primera parte aumenta más lentamente que la segunda, por tanto el resultado es -∞ (una deuda infinita). 2x/x²=0 por esta misma razón. Existen infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, la cantidad de números naturales (1,2,3…) es infinita, pero la cantidad de números reales (o,oooooo1, o,oooooooooooo1….) es mayor, dado que entre cada pareja de naturales consecutivos hay infinitos reales. Esto entronca con la idea de las dos caras del infinito, lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. Para ver algo más sobre las dos caras de un asunto vean las entradas sobre Jano de nuestro amigo Flegetanis.
• 0. ∞=? Se desconoce el resultado de multiplicar nada por todo.
• 1^∞=? Multiplicar uno infinitas veces por sí mismo: no se sabe lo que da. Si 0´9^∞ es cada vez más pequeño hasta que resulta cero, y 1’1^∞ es cada vez mayor hasta que resulta infinito, 1^∞ oscilará entre valores finitos pero no sabemos entre cuáles. Si sumamos la serie 1-1+1-1+1… al agruparla del siguiente modo (1-1)+(1-1)+… el resultado es cero, pero si agrupamos 1-(1-1)-(1-1)-… el resultado es uno, de modo que llegamos a la contradicción 1=0. Diríamos que el resultado oscila entre cero y uno.

En Trantor nos gusta mirar el mismo llano desde distintos cerros, por lo que ahora vamos a ver la aproximación a la idea de infinito desde el punto de vista de nuestro predilecto artista, Escher, quién posiblemente es el autor que más rápida e intuitivamente se ha acercado al infinito desde fuera de las matemáticas.

Hay varios grupos de obras de Maurits Cornelis Escher que nos hablan de este viaje sin final:

• Límites circulares. En ellos observamos otra idea interesante sobre el infinito. Se puede hablar de lo infinitamente grande y de lo infinitamente pequeño. Aunque esto segundo se define más bien con el concepto de infinitesimal, y se acerca a un límite, el cero, que sí es algo cercano e intuitivo para nosotros. Fig. “Límite circular IV”.

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La siguiente figura, “Límite circular I”, está inspirada en el modelo de Poincarè, que también reproducimos, y que Escher halló en un libro de Coxeter. De nuevo un ejemplo de utilización de conceptos matemáticos complejos por Escher. Fig. “Límite circular I” y “Modelo de Poincaré”.

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• Partición regular de la superficie.  De la que Escher fue un auténtico virtuoso. Tras un estudio intenso, que le costó no poco trabajo por su falta de cualificación matemática, inventó un método para partir regularmente la superficie plana, el cual sería más tarde motivo de admiración tanto de cristalógrafos como de matemáticos. Fig. boceto para “Reptiles”.

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• Otros ejemplos de infinito en las obras de Escher.

“Cubo de escalera”, en la que se observa que la imagen se puede repetir sin fin trasladando e invirtiendo el fragmento señalado.

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(Piquen sobre esta imágen para verla a mayor tamaño).

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“Escaleras arriba y escaleras abajo”, ¿quién detendrá el eterno ascenso o descenso de este pobre aprendiz de Sísifo?

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“Cinta de Moebio II”, una figura que tiene no sólo un parecido notable con el propio símbolo de infinito, sino que tiene una única cara que la hormiga recorre una y otra vez volviendo al lugar de partida.

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Para concluir, observando desde otros dos cerros, nos atreveríamos a intuir la idea de infinito en la música, por ejemplo en el “Bolero de Ravel”.

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También en la literatura: deléitense con este diálogo entre la Tortuga y Aquiles, “Canon Cangrejo”, perteneciente al libro “Godel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle” de D. R. Hofstadter, una pequeña joya (prometemos una futura entrada) dentro de uno de los libros más llenos de inteligencia, ingenio y agudeza que haya caído en nuestras manos. No necesita más comentario.

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Tortuga: Buenos días, Sr. A.

Aquiles: Igualmente.

Tortuga: Encantado de verle.

Aquiles: Lo mismo digo.

Tortuga: Es un día perfecto para una caminata. Creo que pronto me encaminaré a casa.

Aquiles: Oh, ¿realmente? Supongo que no hay nada mejor para uno que caminar.

Tortuga: A propósito, debo decir que se está viendo vd. en muy buenas condiciones en estos días.

Aquiles: Muchas gracias.

Tortuga: En absoluto. Aquí tiene, ¿quiere uno de mis cigarros?

Aquiles: Oh, es vd. un filisteo. En esta área las contribuciones holandesas son de un gusto marcadamente inferior, ¿no cree?

Tortuga: No estoy de acuerdo con este caso. Pero hablando de gustos, finalmente vi ese Canon Cangrejo de su artista favorito, M.C. Escher, en una galería el otro día y aprecié en su totalidad la belleza e ingenuidad con las que hace que un tema único se engrane consigo mismo yendo tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero temo que siempre sentiré que Bach es superior a Escher.

Aquiles: No sé. Pero de una cosa estoy seguro y es que no me gustaría ser el blanco de sus críticas. De gustibus non est disputandum.

Tortuga: Dígame, ¿qué se siente al tener su edad? ¿Es verdad que uno siempre da en el blanco?

Aquiles: Para ser exacto, uno requiere además un buen arco.

Tortuga: Oh, bueno, para mí es igual.

Aquiles: Voilà. Eso hace una gran diferencia, vd. sabe.

Tortuga: Dígame, ¿no toca vd. la guitarra?

Aquiles: Ese es mi buen amigo. A menudo hace melodías y toca, el loco. Pero yo en cambio no tocaría una polonesa…¡con una guitarra de una sola cuerda!

(De pronto, aparece el Cangrejo desde la nada y se acerca excitadamente señalando un ojo negro más bien prominente.)

Cangrejo: ¡Hola! ¡Aló! ¿Qué pasa? ¿Qué hay de nuevo? (…) Así pues me voy en un día tan lindo. ¡Canten “¡jo!” por la vida de un cangrejo! ¡TATA! ¡Olé!

(Y desaparece tan repentinamente como llegó)

Tortuga: Ese es mi buen amigo. A menudo toca melodías y hace el loco. Pero yo en cambio no tocaría a… ¡a un polonés de una sola cuerda con una guitarra!

Aquiles: Dígame, ¿no toca vd. la guitarra?

Tortuga: Viola. Eso hace una gran diferencia, vd. sabe.

Aquiles: Oh, bueno, para mí es igual.

Tortuga: Para ser exacto, uno requiere además un buen arco.

Aquiles: Dígame, ¿qué se siente al tener su edad? ¿Es verdad que uno siempre da en el blanco?

Tortuga: No sé. Pero de una cosa estoy seguro y es que no me gustaría ser el blanco de sus críticas. Disputandum non est de gustibus.

Aquiles: No estoy de acuerdo en este caso. Pero hablando de gustos, finalmente escuché ese Canon Cangrejo de su compositor favorito, J.S. Bach, en un concierto el otro día y aprecié en su totalidad la belleza e ingenuidad con las que hace que un tema único que se engrane consigo mismo yendo tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero siempre sentiré que Escher es superior a Bach.

Tortuga: Oh, es vd. un filisteo. En esta área las contribuciones holandesas son de un gusto marcadamente inferior, ¿no cree?

Aquiles: En absoluto. Aquí tiene, ¿quiere uno de mis cigarros?

Tortuga: Muchas gracias.

Aquiles: A propósito, debo decir que se está viendo vd. en muy buenas condiciones en estos días.

Tortuga: Oh, ¿realmente? Supongo que no hay nada mejor para uno que caminar.

Aquiles: Es un día perfecto para una caminata. Creo que pronto me encaminará a casa.

Tortuga: Lo mismo digo.

Aquiles: Encantado de verle.

Tortuga: Igualmente.

Aquiles: Buenos días, Sr. T.

“Canon Cangrejo” de M. C. Escher.

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Canon Cangrejo, de la Ofrenda Musical de J. S. Bach.

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- Notas -.

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(1) Según él, si tengo dos deudas y las multiplico, ¿que tengo… beneficios?

(2) Nada del agrado de un huésped de estas páginas, René Guénon,  matemático entre otras muchas cosas, y que trata este concepto en el libro “Los principios del calculo infinitesimal“.

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Templo Expiatorio de la Sagrada Familia.

(Pueden ver ampliadas todas las imágenes de esta entrada picando sobre ellas).

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No podemos dejar de maravillarnos al recordar la impresión que tuvimos cuando observamos por primera vez el bosque de columnas del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, obra maestra del genial Antoni Gaudí, quien al final de sus días vivía por y para esta maravilla de la arquitectura, llegando a dormir en la propia construcción, consciente de que el tiempo se le escapaba sin terminarla.

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Uno de los atractivos de este templo es precisamente que no está terminado, de modo que su contemplación nos retrotrae a pasadas épocas de construcción de catedrales. Se dice que, hasta la aparición de la informática, los diversos arquitectos encargados de la obra no supieron continuarla, debido a la tremenda complejidad de formas y estructuras.

Y es que, lo que nos encanta en Trantor de ella, es cómo Gaudí imita las formas creadas por millones de años de evolución de la naturaleza a partir de curvas matemáticas (hipérbolas, parábolas, elipses…), conjugando arte y ciencia de una forma casi metaarquitectónica. Observen en las siguientes imágenes cómo las columnas que sostienen la nave central imitan a los árboles de un bosque y cómo su desarrollo se basa en formas matemáticas puras.

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Las columnas están diseñadas con distintos perfiles, materiales, número y distribución de ramas arborescentes, según el peso que tienen que soportar. Las bóvedas hiperbólicas que éstas soportan simulan el follaje, a través del cual los rayos del sol inundan las naves, plenas de luz, característica fundamental de este templo. Los nudos son los elementos de transición entre los troncos y las ramas, entre las columnas y las bóvedas, y están diseñados a partir de una macla de elipsoides. Gaudí pretendía insertar en ellos elementos de iluminación artificial de las naves.

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Gaudí ideó un sistema de pesos colgantes que simulaban, mediante reflexión especular, las cargas que debía soportar cada elemento de la estructura. Una genial sustitución de los complicados cálculos informáticos por la ayuda de la fuerza de la gravedad.  Vean la maqueta estereofunicular.

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El templo cuenta con tres fachadas principales: la fachada de la Gloria, aún por construir, con cuatro torres más altas que las ocho ya construidas,

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correspondientes a las fachadas del Nacimiento (Bernabé, Simón, Judas y Matías)…

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y de la Pasión (Tomás, Bartolomé, Jacobo y Felipe).

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Por encima de todas ellas estarán las cuatro cúpulas dedicadas a los cuatro evangelistas que surgirán de la cubierta. Más alta aún la cúpula de la Virgen, sobre el ábside. Finalmente, a una altura de 170 metros, la torre de Jesucristo, coronada por una cruz tridimensional, típica de Gaudí, en la que éste proyectó instalar un faro que iluminase a todos los barcos que se acercasen al puerto de Barcelona.

Vean las escaleras de caracol que recorren las torres por dentro, que observadas desde abajo representan una espiral.

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El claustro es muy particular, pues rodea completamente el templo, aislándolo del ruido de la calle, dado que éste ocupa una manzana en plena ciudad.

Destacamos algunos elementos de la fachada del Nacimiento, única cuyas torres Gaudí vio con vida, plenos de simbolismo.

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Las gárgolas representan moluscos anfibios y reptiles. Camaleones y tortugas, de tierra y mar, que “sostienen” las columnas de esta fachada. Esqueletos que servían de base para dar auténtica expresión a las figuras. La divina providencia, representada por la mano con el ojo. El ciprés representa la vida inmortal, hacia el que vuelan, en forma de blancas palomas, las almas puras que esperan su entrada en el paraíso.

De la fachada de la Pasión diría el propio Gaudí: “Si hubiese empezado construyendo esta fachada, la gente se hubiera retraído”. Terminada mucho después de la muerte del genio, tal es su tremenda fuerza dramática, acrecentada por unas columnas inclinadas que soportan la estructura porticada. Reconocemos predilección por ella. El proyecto de Gaudí distribuye los episodios de la Pasión por toda la fachada, representados por esculturas de Subirachs. Deléitense con sus siguientes detalles.

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El beso de Judas, instigado por el Maligno, junto al criptograma, un cuadrado con 16 cifras que permite sumar 33, la edad de Cristo al morir, de 310 formas diferentes. La impresionante escultura de Cristo flagelado, que precede las no menos impresionantes puertas de bronce con textos evangélicos. El laberinto, que simboliza el camino de Jesús hasta la cruz, o el inexorable camino del hombre hacia la muerte. Homenaje a Gaudí, cuyo rostro observamos en el evangelista de la izquierda. Queremos terminar con la lanza de Longino, clavándose en la piedra del templo que representa el cuerpo de Cristo, su iglesia; maravillosa combinación entre belleza plástica y evocación simbólica.

Por último aquí tienen un tutubo homenaje de Alan Parson’s (no es la primera vez que sale a colación) y varios  de recreaciones virtuales en 3D del templo, tanto del exterior como del interior.

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