Archivo de diciembre 11th, 2010

Viajes con los primos.

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(Los primos del 0 al 100).

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Recientemente les hemos hablado de cA?mo una inteligencia extraterrestre podrA?a hacA?rsenos patente. Convendremos en que esto se facilitarA?a con el uso del A?nico lenguaje universal que se nos ocurre, las matemA?ticas. En la pelA?cula Contact se utiliza como mensaje la serie de los primeros nA?meros primos (de los que existen seguros, gemelos, capicA?a, permutables…).A?Todo esto nos ha dado ganas de contarles sobre ellos.

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Sobre el aA?o 300 a.C. Euclides escribe “Los Elementos“. En esta obra ya se habla de los nA?meros primos, divisibles sA?lo por 1 y por sA? mismos -tambiA?n se describe el teorema fundamental de la aritmA?tica (1)-. La criba de EratA?stenes (2) nos permite encontrar estos nA?meros. Sin embargo, dado que existen infinitos (3), actualmente se buscan utilizando potentes ordenadores. A?QuA? sentido tiene usar recursos informA?ticos para encontrar nA?meros primos cada vez mayores? Pues que los primos son muy A?tiles para el cifrado de informaciA?n, y cuanto mA?s grandes mejor, pues dificultan la descomposiciA?n del problema en partes menores.

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(Fragmento de Los Elementos de Euclides).

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Los nA?meros primos se distribuyen aleatoriamente y no se tiene una fA?rmula general para poder calcularlos (sA?lo existe para ciertos conjuntos (11)), hay que recurrir a la potencia bruta de iteraciA?n de los ordenadores (4). Sin embargo, dentro del azar, su distribuciA?n se adapta a ciertas sorprendentes leyes que les exponemos en un tubo a continuaciA?n (5). En palabras de Don Zagier:

Hay dos hechos sobre la distribuciA?n de los nA?meros primosA?de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que […] los nA?meros primos crecen como malas hierbas entre los nA?meros naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dA?nde florecerA? el siguiente. El segundo hecho es todavA?a mA?s sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los nA?meros primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisiA?n casi militar“. (6)

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Los nA?meros redondos se obtienen por la multiplicaciA?n sucesiva de los primos: (2=2; 2×3=6; 2x3x5=30…) 2, 6, 30… son nA?meros redondos. Ordenando los naturales en tablas, con nA?mero de columnas igual a un redondo, se observa cA?mo los primos aparecen sA?lo en ciertas columnas, mostrando regularidad. AdemA?s, sumando los nA?meros que encabezan las columnas de primos, por parejas simA?tricas respecto del centro, se obtiene siempre el nA?mero de columnas de la tabla. Curioso.

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(Legendre y Gauss, que conjeturaron el teorema de los nA?meros primos).

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Con respecto a su distribuciA?n entre los naturales, elA?teorema de los nA?meros primos (7) nos permite estimar cuA?ntos primos hay menores que un cierto nA?mero. Para ello se define la funciA?nA?I?(x) = {cantidad de nA?meros primos por debajo deA?x} (por ejemplo I?(9) =4, ya que hay cuatro primos (2,3,5,7) menores que 9). Entonces, se cumple que:

loA?que nos lleva a deducir:

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– La cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x); con mayor exactitud cuanto mayor sea x.

– La probabilidad de que x sea primo tienda a 1/ln(x). AsA?, cuanto mayor sea el nA?mero x menos probable es que sea primo. Por lo que la densidad de nA?meros primos disminuye paulatinamente.

– En torno a x, uno de cada ln(x) nA?meros serA? primo. Por ejemplo, en torno al nA?mero 1000, aproximadamente uno de cada siete nA?meros es primo.

– El enA?simo nA?mero primo serA? de una magnitud comparable a A?nA?ln(n).

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(Jacques Hadamard y Charles-Jean de la VallA?e Poussin, que demostraron independientemente el teorema).

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Abundando en su distribuciA?n, en este caso sobre el papel, les hablaremos ahora sobre la espiral de Ulam. Stanislaw Ulam, matemA?tico polaco, se dedicA? a colocar los nA?meros naturales en una espiral y observA? la colocaciA?n de los primos, aquA? tienen el resultado:

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NA?tese cA?mo tienden a aparecer en determinadas diagonales. En la siguiente imagen se pueden observar, en pA?xeles negros, los primos dentro de los primeros 40000 nA?meros. Esto significa que existen muchas constantes a y b tales que los nA?meros generados por la fA?rmulaA?4n2 +A?an +A?b son generalmente primos.

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La espiral de Sacks es una variante de la anterior, que se construye utilizando una espiral de ArquA?medes en lugar de una cuadrada. De nuevo aparecen lA?neas de alta densidad de nA?meros primos. Este descubrimiento es relativamente reciente, 1994.

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En 1900,A?Hilbert propuso 23 problemas pendientes de soluciA?n para su estudio en el siglo entrante . Entre ellos, el mA?s importante, la soluciA?n de la hipA?tesis de Riemann, relacionada con la distribuciA?n de los nA?meros primos entre los naturales. Riemann la planteA? en su artA?culo sobre los nA?meros primos menores que una cantidad dada, al desarrollar una fA?rmula para calcularlos, que no probA? puesto que no era el objeto esencial de su estudio.

Este problema se encuentra entre los que reporta un millA?n de dA?lares a quien lo resuelva (8), ofrecido por el Instituto Clay de matemA?ticas, tema del que ya les hablamos al hilo de la conjetura de PoincarA?.

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(Bernhard Riemann y David Hilbert).

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Para finalizar, un tubo sobre la hipA?tesis de Rieman y la historia de los hijos de la tA?a.

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– Notas, fuentes y vA?nculos -.

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Dedicamos esta entrada a nuestro dr. Venturi, que se encuentra justo en el centro de la imagen de cabecera.

(1) Que viene a decir que la descomposiciA?n en factores primos de cualquier nA?mero es A?nica.

(2) Que todos ustedes han hecho en clase de matemA?ticas.

(3) AquA? tienen la elegante demostraciA?n delA?teorema de Euclides (existencia de infinitos nA?meros primos).

(4)A?El mayor primo calculado hasta ahora esA?243112609-1A?, aproximadamente una cifra de trece millones de dA?gitos.

(5) Afortunado descubrimiento, de esos que ocurren a veces en la red.

(6) Salvando las distancias, es algo parecido al comportamiento de los electrones en el experimento de la rendija, azar y regularidad a la vez, algo casi cuA?ntico.

(7) Para sobrinos curiosos sobre el teorema de los primos, aquA?.

(8) En microsiervos nos cuentan que podrA?a haber soluciA?n ya (sin confirmar).

(9)A?Test de primalidad, por cortesA?a de Genciencia.

(10) FantA?stico y completA?simoA?artA?culo sobre los primos, usado en parte como fuente.

(11) En un comentario del artA?culo anterior hemos encontrado este enlace que reza: “ya es posible encontrar todos los primos de forma simple”, lo cual, de funcionar, cambiarA?a el panorama.

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(Euclides, el iniciador de todo este viaje con los hijos de la tA?a).

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sábado, diciembre 11th, 2010 TRANTOR 10 Comments
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