Hace algún tiempo nos preguntaba un amigo que por qué menos por menos es más (1). Reconocemos nuestra ignorancia al respecto y queremos, en compensación, dedicarle esta entrada sobre el infinito. Va por el Pobrecito Hablador.

¿Cuál es el número más grande de todos? Dado un número cualquiera, siempre le podemos sumar uno, de modo que obtenemos otro mayor. Por tanto, el número más grande de todos es inalcanzable. Esto nos lleva al concepto de infinito (2), el infinito es un límite, un viaje que nunca termina, un destino inalcanzable. Nos tememos que nuestra tía jamás llegará a encontrarse con él.

Sin embargo la matemática no es cosa que necesite de la existencia real de un concepto para operar con él, se basta y sobra con trabajar en el platónico mundo de las ideas puras, aún cuando éstas sean contrarias al sentido común (engañoso y menos frecuente de los sentidos), más allá del abismo de las ideas.

De este modo, esos ministros de lo abstracto que son los matemáticos utilizan el infinito (∞), con las siguientes propiedades curiosas e implicaciones casi absurdas:

• ∞+1=∞. Sumarle uno al infinito lo deja como está; algo que ya es infinito no puede aumentar más. El hotel de Hilbert es un hotel con infinitas habitaciones. Estando completamente ocupado llega un huésped nuevo. Cada alojado pasa a la habitación siguiente. La habitación número 1 queda libre para el inquilino que llegó. Para cualquier otro número a+1=a implicaría que 1=0, lo cual es absurdo. No es que sea una explicación, pero sirve para aproximarnos el siguiente hecho: el número 4’99999…9999… (con infinitos 9) es igual que 5, de hecho es 5, porque al tener infinitos decimales detrás de la coma acaba llegando al siguiente punto de los números reales, que es el 5.
• Algo parecido ocurre con la resta, ∞-1=∞. Si algo es infinito, por mucho que le quite uno, seguirá siendo infinito. El infinito es como un cántaro milagroso, del que si sacamos un objeto no queda uno menos sino el mismo número; una cornucopia, el cuerno de la abundancia.

• La multiplicación ∞^.∞=∞ es aún más obvia.

El problema lo plantean las siguientes operaciones:

• ∞­-∞=? Restar una fuerza incontenible contra una muralla inexpugnable.
• ∞/∞=? Repartir infinitas cosas entre infinita gente. ¿Cómo arreglan esto los matemáticos? Viendo qué infinito es el que crece más rápido, es decir, viendo la tendencia. Por ejemplo, si resto 2x-x², la primera parte aumenta más lentamente que la segunda, por tanto el resultado es -∞ (una deuda infinita). 2x/x²=0 por esta misma razón. Existen infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, la cantidad de números naturales (1,2,3…) es infinita, pero la cantidad de números reales (o,oooooo1, o,oooooooooooo1….) es mayor, dado que entre cada pareja de naturales consecutivos hay infinitos reales. Esto entronca con la idea de las dos caras del infinito, lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. Para ver algo más sobre las dos caras de un asunto vean las entradas sobre Jano de nuestro amigo Flegetanis.
• 0. ∞=? Se desconoce el resultado de multiplicar nada por todo.
• 1^∞=? Multiplicar uno infinitas veces por sí mismo: no se sabe lo que da. Si 0´9^∞ es cada vez más pequeño hasta que resulta cero, y 1’1^∞ es cada vez mayor hasta que resulta infinito, 1^∞ oscilará entre valores finitos pero no sabemos entre cuáles. Si sumamos la serie 1-1+1-1+1… al agruparla del siguiente modo (1-1)+(1-1)+… el resultado es cero, pero si agrupamos 1-(1-1)-(1-1)-… el resultado es uno, de modo que llegamos a la contradicción 1=0. Diríamos que el resultado oscila entre cero y uno.

En Trantor nos gusta mirar el mismo llano desde distintos cerros, por lo que ahora vamos a ver la aproximación a la idea de infinito desde el punto de vista de nuestro predilecto artista, Escher, quién posiblemente es el autor que más rápida e intuitivamente se ha acercado al infinito desde fuera de las matemáticas.

Hay varios grupos de obras de Maurits Cornelis Escher que nos hablan de este viaje sin final:

• Límites circulares. En ellos observamos otra idea interesante sobre el infinito. Se puede hablar de lo infinitamente grande y de lo infinitamente pequeño. Aunque esto segundo se define más bien con el concepto de infinitesimal, y se acerca a un límite, el cero, que sí es algo cercano e intuitivo para nosotros. Fig. “Límite circular IV”.

La siguiente figura, “Límite circular I”, está inspirada en el modelo de Poincarè, que también reproducimos, y que Escher halló en un libro de Coxeter. De nuevo un ejemplo de utilización de conceptos matemáticos complejos por Escher. Fig. “Límite circular I” y “Modelo de Poincaré”.

• Partición regular de la superficie.  De la que Escher fue un auténtico virtuoso. Tras un estudio intenso, que le costó no poco trabajo por su falta de cualificación matemática, inventó un método para partir regularmente la superficie plana, el cual sería más tarde motivo de admiración tanto de cristalógrafos como de matemáticos. Fig. boceto para “Reptiles”.

• Otros ejemplos de infinito en las obras de Escher.

“Cubo de escalera”, en la que se observa que la imagen se puede repetir sin fin trasladando e invirtiendo el fragmento señalado.

      (Piquen sobre esta imágen para verla a mayor tamaño)

“Escaleras arriba y escaleras abajo”, ¿quién detendrá el eterno ascenso o descenso de este pobre aprendiz de Sísifo?

“Cinta de Moebio II”, una figura que tiene no sólo un parecido notable con el propio símbolo de infinito, sino que tiene una única cara que la hormiga recorre una y otra vez volviendo al lugar de partida.

Para concluir, observando desde otros dos cerros, nos atreveríamos a intuir la idea de infinito en la música, por ejemplo en el “Bolero de Ravel”.

También en la literatura: deléitense con este diálogo entre la Tortuga y Aquiles, “Canon Cangrejo”, perteneciente al libro “Godel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle” de D. R. Hofstadter, una pequeña joya (prometemos una futura entrada) dentro de uno de los libros más llenos de inteligencia, ingenio y agudeza que haya caído en nuestras manos. No necesita más comentario.

Tortuga: Buenos días, Sr. A.

Aquiles: Igualmente.

Tortuga: Encantado de verle.

Aquiles: Lo mismo digo.

Tortuga: Es un día perfecto para una caminata. Creo que pronto me encaminaré a casa.

Aquiles: Oh, ¿realmente? Supongo que no hay nada mejor para uno que caminar.

Tortuga: A propósito, debo decir que se está viendo vd. en muy buenas condiciones en estos días.

Aquiles: Muchas gracias.

Tortuga: En absoluto. Aquí tiene, ¿quiere uno de mis cigarros?

Aquiles: Oh, es vd. un filisteo. En esta área las contribuciones holandesas son de un gusto marcadamente inferior, ¿no cree?

Tortuga: No estoy de acuerdo con este caso. Pero hablando de gustos, finalmente vi ese Canon Cangrejo de su artista favorito, M.C. Escher, en una galería el otro día y aprecié en su totalidad la belleza e ingenuidad con las que hace que un tema único se engrane consigo mismo yendo tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero temo que siempre sentiré que Bach es superior a Escher.

Aquiles: No sé. Pero de una cosa estoy seguro y es que no me gustaría ser el blanco de sus críticas. De gustibus non est disputandum.

Tortuga: Dígame, ¿qué se siente al tener su edad? ¿Es verdad que uno siempre da en el blanco?

Aquiles: Para ser exacto, uno requiere además un buen arco.

Tortuga: Oh, bueno, para mí es igual.

Aquiles: Voilà. Eso hace una gran diferencia, vd. sabe.

Tortuga: Dígame, ¿no toca vd. la guitarra?

Aquiles: Ese es mi buen amigo. A menudo hace melodías y toca, el loco. Pero yo en cambio no tocaría una polonesa…¡con una guitarra de una sola cuerda!

(De pronto, aparece el Cangrejo desde la nada y se acerca excitadamente señalando un ojo negro más bien prominente.)

Cangrejo: ¡Hola! ¡Aló! ¿Qué pasa? ¿Qué hay de nuevo? (…) Así pues me voy en un día tan lindo. ¡Canten “¡jo!” por la vida de un cangrejo! ¡TATA! ¡Olé!

(Y desaparece tan repentinamente como llegó)

Tortuga: Ese es mi buen amigo. A menudo toca melodías y hace el loco. Pero yo en cambio no tocaría a… ¡a un polonés de una sola cuerda con una guitarra!

Aquiles: Dígame, ¿no toca vd. la guitarra?

Tortuga: Viola. Eso hace una gran diferencia, vd. sabe.

Aquiles: Oh, bueno, para mí es igual.

Tortuga: Para ser exacto, uno requiere además un buen arco.

Aquiles: Dígame, ¿qué se siente al tener su edad? ¿Es verdad que uno siempre da en el blanco?

Tortuga: No sé. Pero de una cosa estoy seguro y es que no me gustaría ser el blanco de sus críticas. Disputandum non est de gustibus.

Aquiles: No estoy de acuerdo en este caso. Pero hablando de gustos, finalmente escuché ese Canon Cangrejo de su compositor favorito, J.S. Bach, en un concierto el otro día y aprecié en su totalidad la belleza e ingenuidad con las que hace que un tema único que se engrane consigo mismo yendo tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero siempre sentiré que Escher es superior a Bach.

Tortuga: Oh, es vd. un filisteo. En esta área las contribuciones holandesas son de un gusto marcadamente inferior, ¿no cree?

Aquiles: En absoluto. Aquí tiene, ¿quiere uno de mis cigarros?

Tortuga: Muchas gracias.

Aquiles: A propósito, debo decir que se está viendo vd. en muy buenas condiciones en estos días.

Tortuga: Oh, ¿realmente? Supongo que no hay nada mejor para uno que caminar.

Aquiles: Es un día perfecto para una caminata. Creo que pronto me encaminará a casa.

Tortuga: Lo mismo digo.

Aquiles: Encantado de verle.

Tortuga: Igualmente.

Aquiles: Buenos días, Sr. T.

“Canon Cangrejo” de M. C. Escher.

Canon Cangrejo, de la Ofrenda Musical de J. S. Bach.

(1) Según él, si tengo dos deudas y las multiplico, ¿que tengo… beneficios?

(2) Nada del agrado de un huésped de estas páginas, René Guénon,  matemático entre otras muchas cosas, y que trata este concepto en el libro “Los principios del calculo infinitesimal“.